Matriz diagonalizable

En álgebra lineal, una matriz cuadrada ${\displaystyle A}$ se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. Es decir, si mediante un cambio de base puede reducirse a una forma diagonal. En este caso, la matriz podrá descomponerse de la forma ${\displaystyle A=PDP^{-1}}$ donde ${\displaystyle P}$ es una matriz invertible cuyos vectores columna son vectores propios de ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle D}$ es una matriz diagonal formada por los valores propios de ${\displaystyle A}$.

Si la matriz ${\displaystyle A}$ es semejante ortogonalmente a una matriz diagonal, es decir, si la matriz P es ortogonal se dice entonces que la matriz A es diagonalizable ortogonalmente, pudiendo escribirse como ${\displaystyle A=PDP^{t}}$. El teorema espectral garantiza que cualquier matriz cuadrada simétrica con coeficientes reales es ortogonalmente diagonalizable. En este caso P está formada por una base ortonormal de vectores propios de la matriz siendo los valores propios reales. La matriz P es por tanto ortogonal y los vectores filas de ${\displaystyle P^{-1}}$ son los vectores columnas de P.